Процесс ортогонализации Грама – Шмидта.

Пусть − случайный базис n – мерного евклидова места (существование такового базиса обосновано n – мерностью места). Метод построения по данному базису ортонормированного заключается в последующем:

Аналогично

Продолжая процесс, получаем ортонормированный базис , где

13. Определение 4.3. Ненулевой вектор x в линейном пространстве L именуют своим вектором линейного оператора A: L → L, если для некого реального Процесс ортогонализации Грама – Шмидта. числа λ производится соотношение Ax = λx. При всем этом число λ именуют своим значением (своим числом) линейного оператора A. Определение. Огромное количество всех собственных значений линейного оператора именуют диапазоном линейного оператора.

14. Аксиома 4.5. Пусть собственные значения λ1, . . . , λr линейного оператора A попарно различны. Тогда система соответственных им собственных векторов e1, . . . , er линейно независима Процесс ортогонализации Грама – Шмидта.. Аксиома 4.6. Матрица линейного оператора A, действующего в линейном пространстве, в данном базисе является диагональной и тогда только тогда, когда все векторы этого базиса являются своими для оператора A. Следствие 4.1.Если характеристическое уравнение линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве, имеет n попарно разных реальных корней, то существует базис, в каком матрица Процесс ортогонализации Грама – Шмидта. этого оператора является диагональной. Следствие 4.2. Если характеристическое уравнение квадратной матрицы порядка n имеет n попарно разных реальных корней, то эта матрица подобна некой диагональной.

15. Определение 5.2. Линейный оператор A, действующий в евклидовом пространстве, именуют самосопряженным, если A∗ = A. Это определение можно сконструировать по-другому. Линейный оператор самосопряженный, если для всех Процесс ортогонализации Грама – Шмидта. векторов x и y правильно равенство (Ax, y) = (x, Ay). Аксиома 5.2. Матрица самосопряженного оператора в любом ортонормированном базисе является симметрической. Напротив, если матрица линейного оператора в неком ортонормированном базисе является симметрической, то этот оператор — самосопряженный. Аксиома 5.3. Все корешки характеристического уравнения самосопряженного оператора действительны. Следствие 5.1. Если матрица A является Процесс ортогонализации Грама – Шмидта. симметрической, то все корешки ее характеристического уравнения det(A − λE) = 0 действительные. Следствие 5.2. Самосопряженный оператор, действующий в n-мерном евклидовом пространстве, имеет n собственных значений, если каждое из их считать столько раз, какова его кратность. Следствие 5.3. Симметрическая матрица порядка n имеет n собственных значений, если каждое из их считать столько Процесс ортогонализации Грама – Шмидта. раз, какова его кратность.

15а. Определение 5.1. Линейный оператор A∗ : E → E именуют сопряженным к линейному оператору A: E → E, если для всех векторов x, y ∈ E правильно равенство (Ax, y) = (x, A∗y). Аксиома 5.1. Хоть какому линейному оператору A: E → E соответствует единственный сопряженный оператор A∗, при этом его Процесс ортогонализации Грама – Шмидта. матрицей в любом ортонормированном базисе e является матрица Aт , транспонированная матрице A линейного оператора A в том же базисе e.

Характеристики сопряженного оператора:

1. , тут I – тождественный оператор. 2.

3. 4. 5. Если существует , то

6. Если подпространство инвариантно относит. оператора A, то подпространство инвариантно относит. сопряж. оператора .

16.

12.

17.

18.

19.

10.

11.

20.

21.

22.

24.

25.


procedura-opredeleniya-pobeditelej-konkursa.html
procedura-otbora-proektov-dlya-sponsorstva.html
procedura-podachi-zayavki-na-publikaciyu.html